数学建模实习报告

2019年吉林省大学生数学建模省赛赛题A
获奖情况：成功参赛奖
[实习名称] 数学建模实习
[实习时间] 共2 周
2019年4月15日-2019年4月19日，2019年6月2、16、22、23、29日
[所用机时] 20学时
[实习地点] 理学院机房
[实习项目和内容]
2019年吉林省大学生数学建模省赛赛题任选一题
2019年吉林省大学生数学建模竞赛赛题A
CBA联赛争冠问题
中国男子篮球职业联赛（China Basketball Association），简称（CBA联赛），是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，创办于1995年，中国最高等级的篮球联赛。由最初的12支代表队发展到今天的20余支代表。假设在今年CBA联赛有十四支球队进行常规赛和季后赛两个阶段进行，其中每场比赛必须有胜负，且每支球队编号固定。每支球队在每场球赛中的临场发挥水平的综合评分数据如表数据.xls文件所示，每支球队约100个历史评分数据。
请根据历史数据，分析探讨下列问题：
（1）请估算出每支球队夺冠的概率，并预测前四名的球队。
（2）根据附件综合评分的具体情况，定性分析中国CBA联赛十四支球队的水平。
（3）结合国内CBA联赛的实际情况，根据你们的研究结果，从夺冠概率的角度，针对(1)预测的前四名，提出你们关于如何最大概率夺冠的合理化建议。
试题A数据.xlsx

对球队临场发挥水平的分析
摘要

本文我们通过逐差法计数得到频数视为概率，随后用全概率公式计算出各队夺冠概率排序，解决了问题一，用聚类分析，以及多个统计量来定性分析解决问题二，随后从赛制，球员等角度分析回答了问题三。
针对问题一，为了联系临场发挥的综合评分（以下简称综合评分）与夺冠概率，我们通过计算通过逐差法，Mi-Nj，得到某队X综合评分大于另一队的频数n，Pr=n/MN(当MN足够大时)，我们可以将Pr视为事件X队与另一球队相遇时胜出的概率并通过求平均值得Pz，将Pz进行排序，得到前八如下图：

再运用全概率公式，求出各队夺冠概率如下图：

针对问题二，对综合评分的多个属性如平均值，中位数，标准差用SPSS软件进行了计算，分析，并做出了各队综合评分的散点图，箱型图，多方面定性分析得到各球队的水平。
针对问题三，我们由问题（1）所求得的夺冠概率，再根据赛制，我们提出对于概率排在前四的球队的夺冠建议，球员的身体素质影响着整支球队的综合评分，我们从球员身体素质的力量和体力方面，分析CBA球员现状，并从提出外援对球队的影响。
关键词：正态分布逐差法全概率聚类分析

一、问题重述
中国男子篮球职业联赛（China Basketball Association），简称（CBA联赛），是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，创办于1995年，中国最高等级的篮球联赛。由最初的12支代表队发展到今天的20余支代表。假设在今年CBA联赛有十四支球队进行常规赛和季后赛两个阶段进行，其中每场比赛必须有胜负，且每支球队编号固定。每支球队在每场球赛中的临场发挥水平的综合评分数据如表数据.xls文件所示，每支球队约100个历史评分数据。
请根据历史数据，分析探讨下列问题：
（1）请估算出每支球队夺冠的概率，并预测前四名的球队。
（2）根据附件综合评分的具体情况，定性分析中国CBA联赛十四支球队的水平。
（3）结合国内CBA联赛的实际情况，根据你们的研究结果，从夺冠概率的角度，针对(1)预测的前四名，提出你们关于如何最大概率夺冠的合理化建议。

二、问题假设
1、假设在所有比赛中，双方都是全力以赴，没有任何防水或者刻意保存实力的行为，每场比赛都反应了他们实力的真实水平
2、假设综合评分的高低决定该场比赛的胜负
3、假设常规赛比赛季后赛比赛都是系统，常规赛以排名进入季后赛

三、符号说明
Mi-某一球队第i个综合评分数据
Nj-某一球队第j个综合评分数据
n-某队所有综合评分大于另一队的频数
Pr-某队与另一队相遇时获胜的概率
M,N-任意队的样本数量
X-任意队伍,X=A,B,…,N
Pz-某队遇到其它所有队伍时胜出概率的求和并取平均（z=A,B,…,N）

四、问题分析
问题一：
题目要求估算出每队夺冠的概率，而所给的数据只有综合评分，我们想到若所有球队的综合评分都是符合正态分布的，并且相关性系数较低，则可判定各队的综合评分是相互独立的。以综合评分的高低来作为获胜的决定条件，这样可以通过计算各队正态分布曲线之间高出部分作为获胜的概率，经过计算，我们发现此方法得出结果误差过大，舍弃了这个方案。
随后我们想到可以通过逐差比较大小的求频数代替概率，计算各队与其他球队相遇时获胜概率大小，排序可得到季后赛的排名，通过使用全概率公式求出每支球队的夺冠概率，和前四的球队。
问题二：
由于所给的数据只有一项，那么就需要从综合评分的不同属性去分析，基于我们问题的假设，我们做出各队的散点图，散点图，箱型图等以定性分析各球队的水平。
问题三：
现实CBA的比赛的成绩是与题中不同的，而影响成绩需要考虑的因素也多的多，赛制、球员的临场发挥、教练的指导、球员的身体和心理状态、场因、战术等等，在现实里，2018~2019赛季的队伍达到了24支，队伍数量的增多意味着比赛数量的增多。我们由（1）中获得的数据从不同方面分析得出最大概率的夺冠建议。

五、模型的建立与求解
问题一：
我们将每个球队的每一个综合评分Mi(1<=i<=球队样本量)与其他球队的每个综合评分进行大小比较，并以n计算其数量，当M*N（M，N为任意俩队的样本量）足够大时，由假设，我们可以以n/N*M作为某队遇到另一队时胜出的概率。
我们通过C语言编程计算得各队的概率Pi*j（代码见附录）如图所示：

计算每个队遇到其它所有队伍时胜出概率的求和并取平均：
PX=ΣPi*j/13（X=A,B,…,N,1<=i<=14，1<=j<=14）
并对每个队的P进行排序，以作为季后赛的排名，排在前8以外视为无缘夺冠，概率排名如下：

随后我们根据对阵图，从夺冠的概率回溯使用全概率公式，经过计算，我们最终得出各队的夺冠概率，排名如下：

从表可知，N的夺冠概率最大，接近1，N、L、B、C排在夺冠概率的前四。
问题二：

由各球队的散点图来看，几乎每支球队都有综合评分达到非常高，达到15以上的时候，和非常低，达到0下的时候，这时我们可以知道，分部在[0,10]区间里值较大区间点的多少，才是影响获胜的主要因素。

由各队的箱型图来看，B,C,D,O,N队的综合评分的中位数较大，并且分布在较高数值的较多，而A，E，I，M队中位数较低，综合评分也分布在较低
通过SPSS软件求出各球队的各统计量如下：

从各队的均值来看，B,C,L,N均值较高。从标准差来看，A,C,D,G,H的离散程度较高，由此看来，C队虽然综合评分的均值较高，但是过于评分离散程度较高，发挥不稳定。
综合评判可以知道由多方面的因素影响着各球队的综合评分，综上我们判定N,L,C,B,D的水平在第一阶梯，F,J,K的水平在第二阶梯，H,I,A,E,的水平在第三阶梯。
问题三：
对于赛制方面，在题（1）中，我们由综合评分分析计算出了进入季后赛的八名队伍，通过全概率公式预测出了前四名的球队。我们的研究结果表明，前四名队伍中N队的夺冠概率最大，与第四名的夺冠概率相差0.4490。结合国内CBA联赛的实际情况，我们知道，季后赛采用的是交叉淘汰赛，而根据我们计算的结果，夺冠概率第一的球队将与夺冠概率第四的球队比赛，这样夺冠概率第一的球队将拥有绝对优势。在此基础上，如果想要最大概率夺冠，夺冠概率在前四名的队伍，应该在常规赛中把握好自己进入季后赛的名次，尽量避开与夺冠概率高于自己的球队进行比赛。
针对身体素质来说，身体素质是衡量一个篮球运动员好坏的重要指标，世界篮球运动的发展存在三大流派分别是美州流派，欧州流派和亚州流派，而其中美州流派一直是强势流派，而CBA也一直向强势的美，欧俩个流派学习，而美州流派打法需要高大的球员、优秀的身体素质、技术和战术，而在近年来的国际比赛中，CBA除了缩短了身高差距外，其他方面并没有补足。
从力量方面来说，篮球是一项身体对抗很强的运动，而CBA的球员在力量上普遍较弱，缺少训练，我们对专项力量训练的研究太少，也缺少相关的教练，我们急需完整的理论体系去完备这方面的基础和相应的人才。
在体力方面，体力是一个球员能否维持发挥表现的重要身体素质之一，而在2018-2019赛季，CBA的队伍数量达到了24个，球队数量的增加也会导致比赛场数的增加，球员的体力对球队综合评分的影响也就更加显著，而综合评分影响着夺冠概率，在此进行一下对球员的体力简单分析。
体力是篮球运动员重要的身体素质之一，CBA总体赛事较长，是一个对运动员的机体功能有较高要求，机体内环境变化较为剧烈的耐力性项目。运动生理方面的不少研究已经表明：当机体进行剧烈运动因疲劳而导致体力不支时，对运动能力起重要作用的几种要素，如力量、动作的准确性、神经肌肉的协调性、投篮的准确度、速度、反应和灵敏等水平也随之下降。显然，体力是篮球运动员重要的身体素质，充沛的体力是充分发挥战术水平的重要保证。
从外援方面来说，NBA远比CBA的发展更为成熟，球队的经营，球员的训练，以及训练球员的模式和相应的教练等等都比CBA要好，引进球员会提高球队的整体水平，比赛的对抗性也会增强。
综合以上讨论的方面，作如下总结：
1.调整进入季后赛的排名，规避与夺冠概率高于自身的球队对抗
2.加强球员身体素质，如力量和体力的训练
3.合理引进外援

六、模型的评价与推广
由于题目给出的球队每场发挥水平的综合评分，没有相对应的求解公式，该模型是假设综合评分高的在这场比赛中胜出，有一定的局限性和不确定因素，通过逐个进行相减并计数，这样增加了很多计算量，有一定的缺陷。在所有比赛中，可能会出现违规或者刻意保存实力的行为，这将影响我们模型的准确度。
我们假设综合评分的高低决定该场比赛的胜负，这与实际情况有差别，可能会导致该模型产生误差。我们假设常规赛比赛季后赛比赛都是系统，常规赛以排名进入季后赛，在季后赛中有很多场比赛，则可能会导致该模型产生误差。
总体来讲，本文提出的模型具有很高的实用推广价值，而且算法时间空间复杂度都不高，能有效地得到各球队得冠概率，提高了区分球队水平的正确率，促使其能更好地服务于大众。

附录一：

#include<stdio.h>
void main(){
double a[100]={7.1176,2.2277,1.4709,3.2451,-1.0167,3.7467,-0.8594, 5.8930,15.1128,3.5268,3.1088,2.8862,1.3510,2.6266,3.1659 ,6.7114 ,3.9648 ,0.7315 ,4.1742 ,2.8870 ,4.1709 ,0.8809,7.5232,4.0276 ,5.3884,3.4588,1.6154,8.0679,8.1514,0.3381,1.7937,3.1732,5.5154,1.3679,1.5872,1.6976,0.6262,3.5651,3.0210 ,4.7958,4.3812,7.4927,0.9309,6.6398,3.4517,2.6526,2.2947 ,2.9144,6.2282 ,4.0276,7.2034 ,4.8607 ,3.6502,1.0257,5.2374,3.9957,7.0915,0.7314,8.3372,3.8094,4.5826,0.8312,0.7459,3.5113,3.6801,4.0060,3.7667,3.6638,2.335,2.2999,5.0975,1.8378,1.5738 ,0.1933,3.6023,5.9281,4.6291,0.5034,7.4574,1.3621,3.0872,3.8822,2.3076 ,3.7172,4.7408,9.4676,2.0660,3.2764,2.6157,-0.5312,0.0257,1.6282,2.6138 ,-3.2993,6.7465,-2.9712  , 6.9816,4.2585,2.9851,  0.5773};
double b[98]={7.2052, 6.6085,12.1095,8.1197 ,3.0699 ,7.4225,10.2722 , 3.5797,0.8035,9.7338,6.1664,1.1769 ,4.6561,4.6649 ,7.0562 ,0.7853,7.4803,-1.8892,7.3984,9.5608,4.5730,2.6047,7.5508,7.2049,3.8679 ,-0.6892,3.5095,6.5184,0.8308,7.1725 ,5.4116  ,4.7091 ,4.5204,5.1609,6.7330,3.4089,2.7794,8.3107,8.0128,2.5394,7.1316,5.8205 ,9.3855,4.6046,10.1265,7.2105,6.0897,15.0750,3.7790,0.0528 ,0.5684 ,7.1280,2.5077,5.1540,2.4075,3.0523,6.4992,1.4561,5.0167,5.3964,0.8922,2.8153,2.2531,8.8240,5.5472 ,2.9685,5.4311,3.3630,3.6001,6.1275,6.5722,2.5947,1.0243,6.0073,5.9574,7.0551,7.2266,0.2532,0.5005,4.7586,3.8284,5.643 ,11.1432,5.1285,-4.6920,1.9881 ,6.1702,2.30814.8260,6.5808,3.7133,9.3313,14.5866,0.2396,6.6813,5.1407,3.6041};
	int i,j,n=0;
	for(i=0;i<100;i++){
		for(j=0;j<98;j++){
			if(a[i]>b[j]){
n++;
			}
		}
	}
	printf("%ld",n);
}

附录二：

附录三：

>> clear
>> a=load('2.txt'); 
>> b=zscore(a);
>> r=corrcoef(b);
>> %d=tril(1-r);
>> syms d;
>> d=nonzeros(d)'; 
>> d=pdist(b','correlation');
>> z=linkage(d,'average');
>> h=dendrogram(z);
>> set(h,'Color','k','LineWidth',1.3);
>> T=cluster(z,'maxclust',6);
>> for i=1:6;
tm=find(T==i);
tm=reshape(tm,1,length(tm));
fprintf('第%d类的有%s\n',i,int2str(tm));
end
第1类的有7
第2类的有3  6
第3类的有2  9
第4类的有5  8
第5类的有1  13  14
第6类的有4  10  11  12

附录四：

[感想与收获]
在这次的数学建模中，我负责的主要是第三小题。本次的数学建模实习，收获了许多，其中不免遇到了许多困难，但是我们都一起克服过去。这次的数学建模比赛，我们选好了题目后，在第一题中就没有了思路。通过网上查询资料、询问老师，渐渐的找到了思路。总体来说，第一题的计算量很大，花费了很长时间才将第一题的前四名计算出来。通过这次的数学建模实习，知道了数学建模在学习中的重要性，知道了数学建模是把一个具体的实际问题转化为一个数学问题，然后用数学方法去解决它，之后我们再把它放回到实际当中去，用我们的模型解释现实生活中的种种现象和规律。
数学建模是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择的过程。它给学生再现了一种“微型科研”的过程。数学建模教学有利于激发学生学习数学的兴趣，丰富学生数学探索的情感体验;有利于学生自觉检验、巩固所学的数学知识，促进知识的深化、发展;有利于学生体会和感悟数学思想方法。同时指导老师自身具备数学模型的构建意识与能力，能够指导和要求学生通过主动思维，自主构建有效的数学模型，从而使数学课堂彰显科学的魅力。
通过建模，与别人的交流，发现参加数学建模的同学大都自信，乐观，个人能力比较强，而且交流能力强，这都是数学建模所培养的，虽然建模只有短短的几天几夜，但是锻炼的能力确是其他的活动无法培养出来的，不同人的感受不一样，有文章说培养了创新能力，运用知识能力和计算机能力等，但是我觉得这些是远远不够得，只有亲身经历，才会体会到数学建模的无穷魅力。
通过这次的数学建模实习，知道了数学建模的几点要求：一个是问题一定源于学生的日常生活和现实当中，了解和经历解决实际问题的过程，并且根据学生已有的经验发现要提出的问题。同时，希望同学们在这一过程中感受数学的实用价值和获得良好的情感体验。当然也希望同学们在这样的过程当中，学会通过实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，它更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样学生要有一个尝试，一个探索的过程并能通过查询资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力。
数学建模培养的不仅仅是学生解决问题的能力，更是对问题的思考能力。这次的数学建模，让我了解了很多数学方法，包括但不限于全概率公式、定性分析、逐差法、聚类分析等。有的数学知识是在所学课程中没有讲到的，这就需要我们在网上查询资料自学，有时可能会感到很累，但是坚持到最后就是胜利。数学建模是一种创新过程，在思考方法和思维方式上与其他课程有着较大区别，它需要我们在学习时能冷静地单独思考，并且要有一定的问题分析能力。
我相信随着科技的不断创新发展，数学建模在其中的地位会越来越高，作为一个大学生，学好数学建模是非常重要的。
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[11]CBA官网
[12]聚类分析：
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1627240444851676548&wfr=spider&for=pc
[13]CBA球队数据：
http://cbadata.sports.sohu.com/ranking/teams/2018/0/1
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